数学の超難問「ａｂｃ予想」の証明が論文として認められたことがニュースになっていた。
朝日新聞は「ABC予想は、1、2、3…と無限に続く整数の足し算とかけ算という数学の根本についての問い」、読売新聞は「ＡＢＣ予想は、正の整数について足し算とかけ算の関係を示す難題」と説明。いったい何のことやら、さっぱりわからない。
そこで「ａｂｃ予想」って何を主張しているのか、分かりやすく説明した動画を見てみた。
使用した動画
何本か見たけど、これが一番分かりやすかったかも。
ということで。
ａｂｃ予想とは
ａ＋ｂ＝ｃを満たす互いに素な自然数の組（ａ，ｂ，ｃ）に対し、
ｄ＝ｒａｄ（ａｂｃ）とする。
このとき任意のｋ＞０に対して
ｃ＞ｄ＾（１＋k）
を満たす（ａ，ｂ，ｃ）の組は有限個しか存在しない
・ｒａｄは「ラディカル」と読む。
歴史
１９８５年 ａｂｃ予想が出てきた
２０１２年 論文発表（望月新一先生）＝末尾に先生のブログへのリンクあり。
世の中の数学者が理解できず。新しく作った数学「宇宙際タイヒミュラー理論」が使われていたため。
２０２０年 査読終了＝今回ニュースになった。
本当に正しいかどうか懐疑的な人はいるが、論文としてはみとめられた。
互いに素、ｒａｄ（ラディカル）、有限個の説明
ａｂｃ予想
ａ＋ｂ＝ｃを満たす互いに素な自然数の組（ａ，ｂ，ｃ）に対し、
ｄ＝ｒａｄ（ａｂｃ）とする。
このとき任意のｋ＞０に対して
ｃ＞ｄ＾（１＋k）
を満たす（ａ，ｂ，ｃ）の組は有限個しか存在しない
互いに素
最大公約数（ｇｃｄ）が１であること
例
ｇｃｄ（２８，４２）＝１、２、７、１４ 互いに素ではない
ｇｃｄ（１２、１８）＝１、２、３、６ 互いに素ではない
ｇｃd（９、１４）＝１ 互いに素
ｇｃｄ（５、７）＝１ 互いに素
性質：ａ＋ｂ＝ｃ、ａとｂが互いに素なら、ｃもａもｂも互いに素
ｇｃd（９、１４、９＋１４）＝１ （９、１４、２３）は互いに素
ｇｃｄ（５、７、５＋７）＝１ （５、７、１２）は互いに素
ｒａｄ（ラディカル）＝素因数分解して全ての指数を１に変える。
例 ｒａｄ（３６０）
３６０を素因数分解すると２＾３＋３＾２＋５＾２
ｒａｄ（３６０）＝ｒａｄ（２＾３＋３＾２＋５＾２）
＝ｒａｄ（２×３×５）＝２×３×５＝３０
任意のｋ＞０ ｋは正の実数
１＋ｋは１よりほんの少しだけ大きいという意味。
有限個は「レア」、あまりない、という意味
ａｂｃ予想では
ｄの「１よりほんの少し大きい乗」とするだけで、
ｃ＞ｄ＾（１＋k）を満たすものは有限個しかなくなると言っている。
実際に不等式を満たすａ，ｂ，ｃを見てみる
ａｂｃ予想
ａ＋ｂ＝ｃを満たす互いに素な自然数の組（ａ，ｂ，ｃ）に対し、
ｄ＝ｒａｄ（ａｂｃ）とする。
このとき任意のｋ＞０に対して
ｃ＞ｄ＾（１＋k）
を満たす（ａ，ｂ，ｃ）の組は有限個しか存在しない
ａ，ｂ，ｃを考え、ｃとｄ＾（１＋ｋ）の大小を比較する。
k＝０の場合
ａ，ｂ，ｃの組が
・（１、２、３）のとき
c＝３、d＝ｒａｄ（１×２×３）＝２×３＝６
この場合 ｃ＜ｄ＝ｄ＾（１＋ｋ）
・（５、７、１２）のとき
c＝１２、d＝ｒａｄ（５×７×１２）
＝ｒａｄ（５×７×２＾２×３）
＝ｒａｄ（５×７×２×３）＝２１０
この場合 ｃ＜ｄ＝ｄ＾（１＋ｋ）
・（１、８、９）のとき
ｃ＝９、ｄ＝ｒａｄ（１×８×９）
＝ｒａｄ（１×２＾３×３＾２）
＝ｒａｄ（１×２×３）＝６
この場合 ｃ＞ｄ＝ｄ＾（１＋ｋ）
ただし、ｃ＞ｄ＝ｄ＾（１＋ｋ）となる組み合わせは無限個存在する
・（ａ，ｂ，ｃ）＝（１、（３＾２＾ｎ）−１、３＾２＾ｎ）のとき
ｎ＝１
（１、８、９） ｃ＝９ ｄ＝ｄ＾(１＋ｋ）＝６
→ｃ＞ｄ＝ｄ＾（１＋ｋ）
ｎ＝２
（１、８０、８１） c＝８０ d＝ｄ＾(１＋ｋ）＝３０
→ｃ＞ｄ＝ｄ＾（１＋ｋ）
ｎ＝３
（１、６５６０、６５６１）
c＝６５６０ d＝ｄ＾(１＋ｋ）＝１２３０
→ｃ＞ｄ＝ｄ＾（１＋ｋ）
ｎ＝４の場合
ｃ＝４３０４６７２１ d＝４０３５６３０
→ｃ＞ｄ＝ｄ＾（１＋ｋ）
以下、無限にｃ＞ｄ＝ｄ＾（１＋ｋ）が成立する。
ｋ＞０の場合
・（ａ，ｂ，ｃ）＝（１、（３＾２＾ｎ）−１、３＾２＾ｎ）のとき
ここではkを小さい数とする意味でｋ＝０・１とする。
ｎ＝１のとき（１、８、９）
ｃ＝９ ｄ＝６ ｄ＾(１＋ｋ）＝７．１７７
→ｃ＞ｄ＾（１＋ｋ）
ｎ＝２のとき（１、８０、８１）
c＝８０ d＝３０ ｄ＾(１＋ｋ）＝４２・１５３
→ｃ＞ｄ＾（１＋ｋ）
ｎ＝３のとき（１、６５６０、６５６１）
c＝６５６０ d＝１２３０ ｄ＾(１＋ｋ）＝２５０５・５０７
→ｃ＞ｄ＾（１＋ｋ）
ｎ＝４のとき（１、４３０４６７２０、４３０４６７２１）
ｃ＝４３０４６７２１ d＝４０３５６３０
ｄ＾(１＋ｋ）＝１８４７１５１３
→ｃ＞ｄ＾（１＋ｋ）
※解説動画ではｎ＝４で不等号反転としていたが、計算したらどうも反転していないみたいなのでｎ＝５を調べてみた。
ｎ＝５のとき（１、3^32-1=1853020188851840、3^32=1853020188851841）
ｃ＝1.85...*10^15 d＝6.09...*10^16 ｄ＾ (1+k)＝2.31...*10^17
→ｃ＜ｄ＾（１＋ｋ）：不等号の向きが反転
以下、ｎが５以上でｃ＞ｄ＾（１＋ｋ）が成立する。
→ｃ＞ｄ＾（１＋ｋ）が成立するのは有限個しかない。
参考：Calculate Radicals by Javascript
（根基＝ラディカルを求める、山口大、フクヨ・カズヒロ先生による）
※たった１例示しただけなので、証明ではない。
ａｂｃ予想はこれがどんなａ，ｂ，ｃでも成立する、
というのがすごいことなのだという。
感想・まとめ
んー、主張はなんとなくわかった気がするけど、何が凄いのかはやはりさっぱりわからなかった。
この方の動画で「１＋１＝２」の証明も面白かったなあ。
参考
望月新一先生のブログ。
